初识傅里叶变换

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初识傅里叶变换

Category : 基础知识介绍

如果您是一位无线电或者电子方面的爱好者,那么您应该或多或少听说过“频谱”的概念。

如果你是一个工科学生,那么,估计您或早或晚也会接触到“频谱”的概念。

那么,神奇的频谱究竟是什么呢?别紧张~只需要一丢丢高中数学,不不,应该是初中数学知识就好了~

首先让我们来看个神奇的现象吧~看看下面这张图~(详细的解释在图片的下面哦)

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好了,看够了吗?让我们来解释这张图片。首先我们只看左边的一列,这是什么呢?

初中生都知道啊~~这是三角函数的图像对不对?

第一列的6幅图像中,各个三角函数的幅度,振荡快慢和初始相位各不不同。

回忆一下三角函数的表达式:

y = A cos ( ωtφ )

简单吧~

那么,左边的六幅图所对应的三角函数只不过是上面的A、ωφ不同而已啦~

事实上呢,这6个三角函数的表达式分别是:

y1 = 1.267cos(2π x 0.05t + 1.668)

y2 = 0.406cos(2π x 0.15t + 1.864)

y3 = 0.226cos(2π x 0.25t + 2.061)

y4 = 0.145cos(2π x 0.35t + 2.257)

y5 = 0.098cos(2π x 0.45t + 2.453)

y6 = 0.069cos(2π x 0.55t + 2.649)

那么再来看右边的一列,那是什么呢?

右面的六个图像分别为这些三角函数相加之后所得到的函数表达式的图像,也就是说,从上往下,依次是:

y1

y1+y2

y1+y2+y3

y1+y2+y3+y4

y1+y2+y3+y4+y5

y1+y2+y3+y4+y5+y6

好可怕20140812214156_xPd5G.thumb.700_0,原来圆滑的三角函数,相互叠加之后,竟然变得有棱有角了……,让我用一个GIF动画来把这个事情演示得更清楚一些。

FFT-1

恩,好了,压压惊,偷偷告诉你,其实,只要你有足够多的三角函数,然后别出心裁地指定好每一个三角函数幅度A,频率ω以及相位φ,那么他们叠加之后可以得到任何你想要的形状,什么三角波啊,方波啊,梯形波啊,哪怕是不规则的任意波形,都可以用三角函数叠加出来~~

那么,现在我们来逆向思维一下,既然用三角函数可以叠加出任意一个波形,那么是不是给定一个任意波形,他都能被拆解成三角函数的叠加呢~嘿嘿,这就是傅里叶变换

所谓傅里叶变换啊,就是把原来好好的一个波形,拆成N多个三角函数的叠加。我们再来看看下面的这个GIF动画

6f0b7453jw1eh92f2bp20g20c809s7db

 

在这里,第一个红色线条标会的“方波”图形可以被拆分为很多正弦波的叠加。

下面这句话有点像绕口令如果一次没有读通顺就再试几次~相信你一定能读通顺的~

在GIF动画中,从正面看过去,红色线条所描绘的方波所在的坐标系的横轴的单位是时间,也就是说,GIF动画里面红色的那个波形时值某个变量y随时间t变化的关系,也就是y=f(t)。但是,空间一变化,从侧面看过去,我们得到了一个蓝色的只有几根竖线的图像,这个蓝色的只有几根竖线的图像也在一个坐标系中对不对?可是,千万要注意,这里的横坐标轴单位不再是时间了,这里横轴的单位是频率了,也就是F=f(ω)。

没错,从侧面看到的这个横轴是频率的图像就是一张频谱图!频谱图告诉了我们原来那个红色的方波是由哪些频率的正弦波组成的。在频谱图上,一根竖线代表一个频率的正弦波,竖线越高,代表正弦波的幅度越大;越往横轴正方向走,所对应的正弦波的频率越高。

恩恩,到这里,这篇文章要解释的问题就解释清楚了。不过小编在这里还想再提两个名词,分别叫做“时域”和“频域”。

时域”是“时间域”的缩写,对应的就是上面横轴是时间的情况。

频域”是“频率域”的缩写,对应的就是上面横轴是频率的情况。

对于同一个波形,既可以在时间域中进行分析,也可以在频率域中进行分析,一般情况下,那个“域”中看问题更清楚就在哪个“域”中进行分析。看到这里,各位看官可能看晕了,不过没关系,反正高数课上老师讲的更晕,小编我能够让您坚持看到这里已经很开心了。

俗话说理论与实践并重,讲了这么多理论,肯定会满脑子浆糊,如果您想把头脑中的浆糊变成清水,那么请继续关注下一篇文章~《身边的傅里叶变换》

Myrfy

2015-08-02


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哈尔滨工业大学业余无线电俱乐部

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